(attention: длинный текст)
Теперь о методе. Наиболее близкое мне определение научного метода познания дал профессор Дениадор, глава школы Скептиков, в книге Азимова "Основание и Земля": "Я не принимаю никакой теории до тех пор, пока не получу достаточных доказательств ее. После этого я придерживаюсь ее до тех пор, пока не получу достаточных доказательств обратного". Физика, математика и ряд других наук полностью удовлетворяют этому определению. Математика даже удовлетворяет более всех других, потому что в рамках принятых в ней правил убедительное доказательство теории предполагает отсутствие убедительного доказательства обратного.
Да, действительно, математика изучает абстрактные объекты, не существующие нигде, кроме человеческого ума. Однако объекты эти существуют одинаково в умах разных людей, что и отличает математику от, например, философии. В рамках принятых аксиом и правил вывода любое математическое утверждение одинаково истинно либо ложно для всех людей, и потому является истиной (либо ложью) объективной. То есть математика тоже изучает объективный мир, и отсутствие для этого мира физического прототипа еще не делает его менее объективным.
Пример. Пусть мы ввели понятие натурального числа, скажем, по Пеано, и ввели определение операций + и *. Утверждение a*b = b*a является нетривиальным утверждением, отражающим объективную истину - в рамках принятого определения сложения сложить а раз по b или b раз по a дает одинаковый результат. Совершенно неочевидное утверждение. Но оно истинно для всех людей, принимающих аксиоматику Пеано, и поддается экспериментальной проверке. Ну ладно, у натурального числа хоть физический прототип найти можно, камешки там считать, а вот как насчет вещественных чисел, определяемых аксиомами Кантора-Дедекинда-Вейерштрасса?
Разумен вопрос: применяя правила вывода к аксиомам, получаем ли мы новое знание? Есть ли содержательные утверждения в математике, или вся математика - это лишь изощренный способ сказать, что 1 = 1? Точного ответа на этот вопрос я не знаю. Моя версия такова: содержательные утверждения - это те, которые получаются методом индукции, а таковы все утверждения, содержащие квантор всеобщности.
Об аксиомах. Разумеется, выбор аксиом (равно как и правил вывода) достаточно произволен. Современная математика достаточно лояльно относится к исследованиям объектов, задаваемых любым непротиворечивым множеством аксиом. Разве что в случае особенно странных аксиом относится без особого интереса, и, скажем, плохо
финансирует. Но за придурков таких исследователей уже 100 лет как не считают. В области правил вывода тоже возможны варианты - например, некоторые считают за западло использовать закон исключенного третьего. Но они честно об этом предупреждают. Таким образом, вопрос лишь во взаимной договоренности.
Самый интересный вопрос, и для меня самый загадочный - это о связи математики и физики. Почему-то из всех мыслимых наборов аксиом математики чаще всего берут за основу те, которые можно с успехом применить для описания объектов реального мира. Иногда это происходит после наблюдения реального мира (напримепр, Евклидова геометрия), или по заказу потребителя (скажем, теория грамматик в Computer science),
иногда объекты изучаются задолго до их применения для описания мира (мнимые числа, теория групп). Тем не менее чаще всего любой объект пристального внимания математиков рано или поздно становится как-то связан с окружающим миром. Например, уж на что теория множеств абстрактная наука, и система ее аксиом неочевидна (одна аксиома выбора чего стоит), но, скажем, на аксиоме выбора базируется ряд утверждений функана, а функан, будучи тоже наукой весьма абстрактной, применяется, например, для решения интегральных уравнений, а уж они-то применяются повсеместно в самой что ни на есть реальной жизни. Другой пример - Ньютонова бесконечно малая величина.
Почему это происходит - загадка. Что удерживает математиков от ухода в совершенно абстрактные умствования, почему аксиомы и правила вывода, используемые большинством математиков, имеют хоть какое-то отношение к реальному миру - загадка. Разрешить ее, не впадая в идеализм - невозможно. Много лет назад, когда я был идеалистом, мое решение было таково: объективно, то есть независимо от нашего сознания, существуют Материя и Информация. Информация существует в параллельном (идеальном) мире и соответствует Материи (описывает ее). Существуют устройства, которые в состоянии эту Информацию из параллельного мира добывать, записывать на материальные носители и обрабатывать. В качестве такого устройства годится любая нелинейная система с достаточно большим числом элементов (оценка - 10^10 и больше). Пример такой системы - человеческий мозг. Когда человек занимается абстрактным умствованием (например, изучением линии как "длины без ширины"), на самом деле он извлекает утверждения из этого Массива Информации, и поэтому никогда не отрывается от Действительности. Таким образом, изучать Материю можно двумя путями - наблюдением (физика) и чистым синтезом (математика), а сочетание обоих способов позволяет добиться наиболее хороших результатов. Повторяю, это моя теория 10-летней давности. Другой вариант - Божий промысел. Боженька направляет математиков, чтобы они дурью не маялись, а дело делали. Какой-то законченной теории на этот счет сейчас у меня нет. Предложения принимаются.
Итак, из всех наук математика в наибольшей степени соответствует научному методу познания. Ее утверждения допускают экспериментальную проверку, хотя и не нуждаются в ней. Так почему же это не наука?