Раз пошла такая пьянка - вот еще задача (по-моему, из Гарднера; кто знает не сообщайте решения). Берется километровый стержень из идеальной резины. По нему пускаем идеальную улитку, которая ползет со скоростью 1см/сек.

Через 1 секунду стержень удлиняем на километр, еще через секунду - еще на километр, и т.д. Вопрос: доползет ли когда-нибудь улитка до другого конца стержня?

Сотрудник MS

Сотрудник МС, доползет улитка. Надо написать, сколько ей остается проползти через n секунд. (((L-dl)*2-dl)*3/2-dl)*4/3...= L*n-dl*n-dl*n/2-dl*n/3-dl*n/4 ... Где L - исходная длина, а dl -- скорость. L*n растет медленнее, чем все, что со знаком минус, значит когда-нибудь все станет равно нулю (а потом и в минуса уйдет).

Толик

Толик,

Разуммется, дискретно; и еще раз говорю, что в задаче все идеально.

Сотрудник MS

Сотрудник MS
Лень мне выводить формулы, поэтому попробуем логически решить.
1) Как бы быстро ни удлинялся стержень и как бы медленно ни ползла по _нём_ улитка, но пройденная на стержне ею точка уже _никогда_ не окажется впереди улитки. То естькак бы там ни было, но улитка стержень обгоняет
2) К тому же, длина стержня есть функция от времени первой степени, а путь пройденный улиткой второй, то следует, что рано или поздно улитка до края стержня доползёт.

Vladimir <Toronto>

Толик,

Неа, не доползет бедняга... Допустим ей на N-ой (N, очевидно, >>1) секунде удалось приблизится к концу резинки. Только она левые ноги занесла, а тут -- БАЦ! -- впереди еще метр пути, а то, что она прошла раньше, почти и не выросло (закон роста пройденного пути: L(n+1)=L(n)*(N+1)/N+d1, т.е. L(n+1)==L(n)+d1 при больших N). Вот тебе, бабушка, и Юрьев день! Начинай все заново.

Арк

Арк, доползет-доползет. Во-первых, смотри мои выкладки внимательно, там чуть-чуть занудно, но все строго. Во-вторых, критика твоих рассуждений. Если улитка занесла ногу, то метра пути не появится. Оставшееся ей расстояние увеличивается, но понемногу. В два раза оно увеличивается только при первом растяжение шланга. Если написать формула типа твоей для оставшегося расстояния, то получим S(n+1)=S(n)*(n+1)/n-dl, что исходя из твоих же предположений приблизительно равно S(n)-dl (при больших n), то есть оно всегда уменьшается. Из этого следует, что игнорировать множитель (n+1)/n здесь нельзя. Собственно откуда ты решил, что n НАСТОЛЬКО велико, что его можно проигнорировать? Длина стержня по отношению к dl тоже очень велико. Так что вот. Опровергни мои выкладки без приближенных вычислений.

Толик

Решение задачи про улитку, более простое, чем у Толика.

Можно считать, что длина стержня постоянна (1 км), а вот скорость улитки в первую секунду 1 см/с, во вторую 1/2 см/с, в третью 1/3 см/с и так далее.

В итоге за n секунд улитка пройдет расстояние

1+1/2+1/3+....+1/n см

то есть n-ю частную сумму гармонического ряда, который, как известно, расходится (доказывается тривиально). Таким образом, начиная с некоторого n эта сумма будет больше 100000, и улитка доползет.

Можно даже примерно указать, когда. n-я сумма этого ряда хорошо приближается логарифмом - ln (n), причем, кажется, относительная погрешность этого приближения стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности.

Итак, ln (n) >= 100000

n >= exp (100000)

Вообще-то это очень много. Доползет не сама улитка, а ее дальний потомок, если вселенная раньше не погибнет или резина не лопнет.

Между прочим, общие рассуждения вроде "хоть стержень и удлинняется, но улитка все равно каждый раз продвигается по стержню, и потому доползет", не годятся, потому что, очевидным образом, расходится не всякий ряд. Если ьбы стержень вытягивали с каждым разом в два раза, то максимум, до чего могла бы доползти улитка - это до 2/100000 длины стержня, и то ей на это понадобится бесконечное время.

Африканец